Kalkulator równania kwadratowego

Kalkulator równania kwadratowego (delta)

Wpisz współczynniki a, b i c, a kalkulator obliczy deltę (wyróżnik), poda pierwiastki równania, wierzchołek paraboli oraz postać kanoniczną. Rozwiązanie równania ax² + bx + c = 0 metodą delty to podstawa matematyki w szkole podstawowej i liceum.

Czym jest równanie kwadratowe?

Równanie kwadratowe to równanie postaci:

ax² + bx + c = 0

gdzie a ≠ 0 (gdy a = 0, równanie przestaje być kwadratowe i staje się liniowe). Współczynniki oznaczają:

• a — współczynnik przy x² (decyduje o ramionach paraboli: w górę dla a > 0, w dół dla a < 0),
• b — współczynnik przy x,
• c — wyraz wolny (miejsce przecięcia paraboli z osią Y).

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola, a pierwiastki równania to miejsca, w których przecina ona oś X.

Wzór na deltę i pierwiastki

Kluczem do rozwiązania jest delta (Δ), nazywana też wyróżnikiem:

Δ = b² − 4ac

Znak delty decyduje o liczbie pierwiastków rzeczywistych:

• Δ > 0 — dwa różne pierwiastki:
  • x₁ = (−b − √Δ) / (2a)
  • x₂ = (−b + √Δ) / (2a)
• Δ = 0 — jeden pierwiastek podwójny:
  • x₀ = −b / (2a)
• Δ < 0 — brak pierwiastków rzeczywistych (istnieją jednak pierwiastki zespolone: −b/(2a) ± √(−Δ)/(2a)·i).

Przykład krok po kroku

Rozwiążmy równanie x² − 5x + 6 = 0, czyli a = 1, b = −5, c = 6.

1. Obliczamy deltę: Δ = b² − 4ac = (−5)² − 4·1·6 = 25 − 24 = 1.
2. Delta jest dodatnia (Δ > 0) — mamy dwa pierwiastki. Liczymy √Δ = √1 = 1.
3. Pierwiastek pierwszy: x₁ = (−b − √Δ) / (2a) = (5 − 1) / 2 = 4 / 2 = 2.
4. Pierwiastek drugi: x₂ = (−b + √Δ) / (2a) = (5 + 1) / 2 = 6 / 2 = 3.

Rozwiązaniem są liczby x₁ = 2 oraz x₂ = 3. Możemy to sprawdzić, korzystając ze wzorów Viète'a: suma pierwiastków = −b/a = 5, a iloczyn = c/a = 6 — i rzeczywiście 2 + 3 = 5 oraz 2 · 3 = 6.

Wierzchołek i postać kanoniczna

Każdą parabolę można zapisać w postaci kanonicznej:

a(x − p)² + q

gdzie punkt W = (p, q) to wierzchołek paraboli:

• p = −b / (2a)
• q = −Δ / (4a)

Dla naszego przykładu x² − 5x + 6 = 0:

• p = −(−5) / (2·1) = 5 / 2 = 2,5
• q = −Δ / (4a) = −1 / 4 = −0,25

Postać kanoniczna to więc (x − 2,5)² − 0,25, a wierzchołek paraboli leży w punkcie (2,5; −0,25) — to jednocześnie najniższy punkt wykresu (bo a > 0).

Częste błędy

• Zły znak b w liczniku — we wzorach jest −b, więc dla b = −5 licznik to −(−5) = +5. Uważaj na podwójne minusy.
• Pomylenie 2a i 4a — pierwiastki dzielimy przez 2a, a współrzędną q wierzchołka przez 4a.
• Zapominanie o a ≠ 0 — gdy a = 0, nie liczymy delty; równanie bx + c = 0 rozwiązujemy jako liniowe: x = −c/b.
• Ujemna delta — Δ < 0 oznacza brak pierwiastków rzeczywistych. Nie próbuj pierwiastkować liczby ujemnej w zbiorze liczb rzeczywistych.
• Mnożenie zamiast potęgowania — pamiętaj, że b² to b·b, a nie 2·b.

Potrzebujesz innych obliczeń szkolnych? Sprawdź nasz kalkulator proporcji i reguły trzech.