Kalkulator kombinatoryki

Kalkulator kombinatoryki (silnia, wariacje, kombinacje)

Wybierz rodzaj obliczenia, podaj liczbę elementów n (oraz k, jeśli wybierasz), a kalkulator policzy silnię, permutacje, wariacje i kombinacje — z powtórzeniami i bez. To narzędzie dla uczniów, studentów i każdego, kto liczy prawdopodobieństwo, liczbę haseł czy szans w lotto.

Silnia i permutacje

Silnia liczby n (zapis n!) to iloczyn wszystkich liczb naturalnych od 1 do n:

n! = n · (n − 1) · (n − 2) · … · 2 · 1

Przyjmujemy, że 0! = 1 (pusty iloczyn). Silnia rośnie ekstremalnie szybko: 5! = 120, 10! = 3 628 800, a 20! przekracza 2 tryliardy. Dla n > 170 wynik jest tak duży, że przekracza zakres liczb komputera — kalkulator oznacza go wtedy jako „za duże”.

Permutacje bez powtórzeń to liczba sposobów ustawienia n różnych elementów w ciąg, i wynosi dokładnie P(n) = n!. Na ile sposobów 5 osób może stanąć w kolejce? P(5) = 5! = 120.

Wariacje vs kombinacje — czy kolejność ma znaczenie?

To najważniejsze pytanie w kombinatoryce. Wybierasz k elementów z n:

• Wariacje — kolejność MA znaczenie (ABC to co innego niż CBA). Przykład: kod, wynik biegu (kto pierwszy, kto drugi).
• Kombinacje — kolejność NIE MA znaczenia (ABC to to samo co CBA). Przykład: los w lotto, skład drużyny.

Wariacje bez powtórzeń

V(n, k) = n! / (n − k)!

Wybieramy k z n elementów, każdy najwyżej raz, kolejność się liczy. Na ile sposobów przyznać złoty, srebrny i brązowy medal 8 zawodnikom? V(8, 3) = 8! / 5! = 8 · 7 · 6 = 336.

Kombinacje bez powtórzeń

C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!)

Wybieramy k z n elementów, każdy najwyżej raz, kolejność bez znaczenia. Symbol nazywamy „n po k”. Zachodzi symetria C(n, k) = C(n, n − k).

Przykład krok po kroku: szansa w Lotto

W Lotto losujemy 6 liczb z 49, kolejność losowania nie ma znaczenia — to klasyczne kombinacje C(49, 6):

1. C(49, 6) = 49! / (6! · 43!)
2. Skracamy do iloczynu: (49 · 48 · 47 · 46 · 45 · 44) / (6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1)
3. Licznik = 10 068 347 520, mianownik = 720
4. C(49, 6) = 13 983 816

Istnieje więc prawie 14 milionów różnych kuponów, a szansa na trafienie „szóstki” to 1 do 13 983 816.

Z powtórzeniami — gdy elementy mogą się powtarzać

Gdy ten sam element może wystąpić wiele razy (np. cyfra w kodzie PIN):

• Wariacje z powtórzeniami: n^k — kolejność ma znaczenie, powtórzenia dozwolone. Ile jest 4-cyfrowych kodów PIN? Każda z 4 pozycji to jedna z 10 cyfr: 10⁴ = 10 000.
• Kombinacje z powtórzeniami: C(n + k − 1, k) — kolejność bez znaczenia, powtórzenia dozwolone. Na ile sposobów wybrać 2 gałki lodów z 3 smaków (można dwa razy ten sam)? C(3 + 2 − 1, 2) = C(4, 2) = 6.

Który wzór wybrać? Szybka ściąga

• Ustawiasz WSZYSTKIE elementy w ciąg → permutacje P(n) = n!
• Wybierasz k z n, kolejność WAŻNA, bez powtórzeń → wariacje V(n, k)
• Wybierasz k z n, kolejność NIEważna, bez powtórzeń → kombinacje C(n, k)
• Wybierasz k z n, kolejność WAŻNA, z powtórzeniami → n^k
• Wybierasz k z n, kolejność NIEważna, z powtórzeniami → C(n + k − 1, k)

Częste błędy

• Mylenie wariacji z kombinacjami — zawsze zadaj sobie pytanie: „czy zamiana kolejności daje nowy wynik?”. Jeśli tak → wariacje, jeśli nie → kombinacje.
• Zapominanie o 0! = 1 — to definicja, nie błąd; dzięki niej wzory działają dla k = 0 i k = n.
• k > n bez powtórzeń — nie da się wybrać 6 różnych elementów z 4. Dla wariantów bez powtórzeń wymagane jest k ≤ n.
• Liczenie przez pełną silnię — dla dużych n licz przez iloczyn czynników, bo n! szybko przekracza zakres liczb.

Potrzebujesz innych obliczeń szkolnych? Sprawdź kalkulator równania kwadratowego oraz kalkulator proporcji i reguły trzech.