Kalkulator logarytmów

Kalkulator logarytmów online

Oblicz logarytm o dowolnej podstawie. Wpisz podstawę (b) i liczbę (x), a kalkulator poda wartość log_b(x) wraz z rozpisaniem wzoru na zmianę podstawy. Skróty ln, log₁₀ i log₂ ustawiają najpopularniejsze podstawy jednym kliknięciem.

Czym jest logarytm?

Logarytm liczby x przy podstawie b to wykładnik potęgi, do której trzeba podnieść podstawę b, aby otrzymać x. Odpowiada na pytanie: „do której potęgi podnieść b, żeby dostać x?".

Definicja: log_b(x) = y ⇔ b^y = x

Przykładowo log₂(8) = 3, ponieważ 2³ = 8. Logarytm jest więc działaniem odwrotnym do potęgowania.

Dziedzina — kiedy logarytm istnieje?

Logarytm ma sens tylko przy spełnionych warunkach:

• x > 0 — logarytmować można wyłącznie liczby dodatnie,
• b > 0 — podstawa musi być dodatnia,
• b ≠ 1 — podstawa 1 jest niedozwolona (1 do dowolnej potęgi to zawsze 1).

Jeśli którykolwiek warunek nie jest spełniony, wynik nie istnieje (kalkulator pokaże komunikat).

Wzór na zmianę podstawy

Kalkulatory i komputery liczą logarytm naturalny (ln). Dowolny logarytm sprowadzamy do niego wzorem na zmianę podstawy:

log_b(x) = ln x / ln b

Zamiast ln można użyć dowolnego innego logarytmu, np. dziesiętnego: log_b(x) = log x / log b. Właśnie ten wzór wykorzystuje nasz kalkulator.

ln, log, lg — oznaczenia

W matematyce i technice spotkasz różne skróty:

• ln x — logarytm naturalny, o podstawie e ≈ 2,718 (liczba Eulera),
• log x lub lg x — najczęściej logarytm dziesiętny, o podstawie 10,
• log₂ x — logarytm dwójkowy, o podstawie 2 (kluczowy w informatyce).

Uwaga: w niektórych podręcznikach „log" bez indeksu oznacza logarytm naturalny — zawsze sprawdź kontekst.

Przykład krok po kroku

Policzmy log₂(8):

1. Szukamy y takiego, że 2^y = 8.
2. Ponieważ 2³ = 2 · 2 · 2 = 8, mamy y = 3.
3. Sprawdzenie wzorem na zmianę podstawy: ln 8 / ln 2 = 2,0794 / 0,6931 = 3.

Wynik: log₂(8) = 3.

Zastosowania logarytmów

Logarytmy pozwalają opisać zjawiska rozciągnięte na wiele rzędów wielkości:

• Skala pH — kwasowość roztworu: pH = −log₁₀[H⁺]. Spadek pH o 1 oznacza 10 razy większe stężenie jonów wodoru.
• Decybele (dB) — poziom głośności dźwięku liczony jest logarytmicznie; wzrost o 10 dB to dziesięciokrotny wzrost mocy.
• Złożoność algorytmów — sortowanie czy wyszukiwanie binarne mają złożoność O(log n); logarytm dwójkowy mówi, ile razy można podzielić zbiór na pół.
• Skala Richtera — energia trzęsień ziemi rośnie logarytmicznie.

Częste błędy

• Próba policzenia logarytmu z liczby ujemnej lub zera — poza dziedziną.
• Podstawa równa 1 — logarytm nie jest wtedy określony.
• Mylenie log (podstawa 10) z ln (podstawa e) przy przeliczeniach.

Zobacz też kalkulator równania kwadratowego, kalkulator proporcji oraz przelicznik temperatur.